( إذا كان طول قطر الدائرة الكبيرة مثلي قطر الدائرة الصغيرة اوجدي نسبة مساحة المظلل إلى مجموع مساحتي الدائرتين )

( إذا كان طول قطر الدائرة الكبيرة مثلي قطر الدائرة الصغيرة اوجدي نسبة مساحة المظلل إلى مجموع مساحتي الدائرتين )

مساحة المنطقة المظللة بين دائرتين متداخلتين

إذا كان لدينا دائرتان متداخلتان، حيث يكون قطر الدائرة الكبيرة ضعف قطر الدائرة الصغيرة، فإننا نسعى لإيجاد نسبة مساحة المنطقة المظللة بين الدائرتين إلى مجموع مساحتي الدائرتين.

أنصاف أقطار الدائرتين

بما أن قطر الدائرة الكبيرة ضعف قطر الدائرة الصغيرة، فإن نصف قطر الدائرة الكبيرة (R) يساوي ضعف نصف قطر الدائرة الصغيرة (r)، أي:

$R = 2r$

مساحة الدائرتين

تُعطى مساحة الدائرة بالمعادلة:

$A = \pi r^2$

وبالتالي، فإن مساحة الدائرة الكبيرة:

$A_1 = \pi R^2 = \pi (2r)^2 = 4\pi r^2$

ومساحة الدائرة الصغيرة:

$A_2 = \pi r^2$

مساحة المنطقة المتداخلة

تتكون المنطقة المتداخلة من قطاع دائري من الدائرة الكبيرة وقطاع دائري من الدائرة الصغيرة. يمكن حساب مساحة القطاع الدائري بالمعادلة:

$A = \frac\theta360 \cdot \pi r^2$

حيث θ هي الزاوية المركزية للقطاع. في هذه الحالة، فإن الزاوية المركزية للقطاع الدائري الكبير هي نفسها الزاوية المركزية للقطاع الدائري الصغير، ويمكن حسابها باستخدام نظرية فيثاغورس:

$\theta = 2\cos^-1\left(\fracr2R\right)$

حساب مساحة المنطقة المظللة

وبالتالي، فإن مساحة المنطقة المظللة هي:

$A_s = A_1 – A_2 – A_sector1 – A_sector2$

حيث A_sector1 وA_sector2 هما مساحتي القطاعين الدائريين.

نسبة مساحة المنطقة المظللة إلى مجموع مساحتي الدائرتين

وبالتالي، فإن نسبة مساحة المنطقة المظللة إلى مجموع مساحتي الدائرتين هي:

$\fracA_sA_1 + A_2 = \fracA_1 – A_2 – A_sector1 – A_sector24\pi r^2 + \pi r^2$

الخطوات لحساب النسبة

1. احسب نصف قطر الدائرة الكبيرة (R) باستخدام العلاقة R = 2r.
2. احسب مساحتي الدائرتين A₁ وA₂ باستخدام معادلة مساحة الدائرة.
3. احسب الزاوية المركزية للقطاعات الدائرية (θ) باستخدام العلاقة \(θ = 2\cos^-1\left(\fracr2R\right)\).
4. احسب مساحتي القطاعين الدائريين A_sector1 وA_sector2 باستخدام معادلة مساحة القطاع الدائري.

5. احسب مساحة المنطقة المظللة A_s بطرح مساحتي القطاعين الدائريين من مجموع مساحتي الدائرتين.
6. احسب نسبة مساحة المنطقة المظللة إلى مجموع مساحتي الدائرتين باستخدام المعادلة \(\fracA_sA_1 + A_2\).

الخلاصة

يعتمد حساب نسبة مساحة المنطقة المظللة إلى مجموع مساحتي الدائرتين المتداخلتين على حساب أنصاف الأقطار ومساحات الدائرتين والقطاعات الدائرية. باستخدام الخطوات الموضحة، يمكننا تحديد هذه النسبة بدقة، والتي تكون مفيدة في مجموعة متنوعة من التطبيقات هندسية.