٢على٥، ٥على١٢، ١على٣
التحليل الكسري
التحليل الكسري هو دراسة الأنظمة والعمليات التي لا يمكن وصفها بسهولة أو بدقة باستخدام المشتقات والتكاملات التقليدية. بدلاً من ذلك، يستخدم التحليل الكسري مشتقات كسرية وتكاملات كسرية، والتي تعمم المفاهيم الكلاسيكية وتسمح بوصف السلوكيات المعقدة في مجموعة متنوعة من المجالات.
التعريف والخصائص
المشتقة الكسرية للترتيب α من الدالة f (x) تُعرّف على النحو التالي:
Dα f (x) = 1Γ(1 – α) ∫0x (x – t)α-1 f (t) dt
حيث Γ (.) هي دالة جاما.
وبالمثل، فإن التكامل الكسري للترتيب α للدالة f (x) يُعرّف على النحو التالي:
Iα f (x) = 1Γ(α) ∫0x (x – t)α-1 f (t) dt
تتميز المشتقات الكسرية والتكاملات بخصائص فريدة تميزها عن نظيراتها الصحيحة. على سبيل المثال، المشتقة الكسرية من دالة ثابتة ليست صفراً، والتكامل الكسري من دالة متعددة الحدود ليس دالة متعددة الحدود.
المجالات التطبيقية
وجد التحليل الكسري تطبيقات في مجموعة واسعة من المجالات، بما في ذلك:
الفيزياء
انتشار الموجات في الأوساط المعقدة
النمذجة الكسرية للأنظمة الديناميكية الفوضوية
وصف السلوكيات غير الخطية في النظم الفيزيائية
الهندسة
تحليل الهياكل والمواد ذات الخصائص الكسرية
التحكم في النظم ذات السلوكيات الكسرية
نمذجة العمليات غير الخطية في الأنظمة الهندسية
العلوم الحيوية
وصف النقل والانتشار في الأنظمة البيولوجية
نمذجة النشاط العصبي والفيزيولوجي
تحليل البيانات الطبية والكيميائية الحيوية
المالية
نمذجة السلوكيات التقلبة في الأسواق المالية
تقدير المخاطر وإدارة المحافظ الاستثمارية
تحليل البيانات الاقتصادية والتنبؤ بها
علوم الكمبيوتر
معالجة الصور والفيديو
التشفير وفك التشفير
نمذجة الشبكات المعقدة
٢على٥، ٥على١٢، ١على٣
تُعد المتتاليات ٢على٥، ٥على١٢، ١على٣ أمثلة على الأعداد الكسرية التي تظهر كثيرًا في التحليل الكسري والتطبيقات العملية.
٢على٥
يُستخدم هذا الكسر لوصف عمليات الانتشار في الأوساط غير المتجانسة، مثل تدفق السوائل في المواد المسامية.
يظهر أيضًا في نمذجة الظواهر الكسرية في الفيزياء الحيوية، مثل انتشار الأدوية في الجسم.
في المالية، يستخدم ٢على٥ لتقدير التقلبات في الأسواق المالية.
٥على١٢
يظهر هذا الكسر في تحليل الحركة البراونية والانتشار الشاذ.
يستخدم أيضًا في نمذجة الأنظمة الجيولوجية، مثل تدفق المياه الجوفية.
في علوم الكمبيوتر، يستخدم ٥على١٢ في معالجة الصور والفيديو.
١على٣
يُستخدم هذا الكسر لوصف السلوك غير الخطي في الأنظمة الفيزيائية، مثل النمذجة الكسرية للأنظمة الديناميكية الفوضوية.
يظهر أيضًا في التحكم في النظم ذات السلوكيات الكسرية.
في المالية، يستخدم ١على٣ لتحليل السلوكيات التقلبة في الأسواق المالية.
الخاتمة
يُعد التحليل الكسري أداة قوية لوصف الأنظمة والعمليات المعقدة في مجموعة متنوعة من المجالات. من خلال استخدام المشتقات والتكاملات الكسرية، يمكن للمحللين الكسريين نمذجة السلوكيات غير الخطية والعمليات الشاذة التي يصعب وصفها باستخدام الأساليب التقليدية. يعد فهم التحليل الكسري وتطبيقاته أمرًا ضروريًا للباحثين والممارسين في العديد من التخصصات.