١، ٣، ٧، ١٥،…،

١، ٣، ٧، ١٥،…،

المتتالية الهندسية: 1، 3، 7، 15، …

المقدمة

المتتالية الهندسية هي متتالية من الأعداد حيث يكون النسبة بين أي حدين متتاليين ثابتًا. يُعرف هذا الثابت باسم النسبة المشتركة. المتتالية المذكورة في العنوان هي متتالية هندسية لها نسبة مشتركة قدرها 3.

صفات المتتالية الهندسية

• الحد الأول هو الرقم الذي تبدأ به المتتالية.
• النسبة المشتركة هي الرقم الذي يتم ضربه في كل حد للحصول على الحد التالي.
• يمكن كتابة أي حد في المتتالية باستخدام الصيغة:
  
  a_n = a₁ r^(n-1)
  حيث a₁ هو الحد الأول، و r هي النسبة المشتركة، و n هو رقم الحد.

حساب الحدود

لإيجاد أي حد في المتتالية، نستخدم الصيغة أعلاه. على سبيل المثال، لإيجاد الحد العاشر من المتتالية 1، 3، 7، 15، …، نستخدم الصيغة التالية:

a₁₀ = 1 3^(10-1)

a₁₀ = 1 3⁹

a₁₀ = 19683

المجموع

إن مجموع n حدًا أولًا من المتتالية الهندسية هو:

S_n = a₁ (1 – rⁿ) / (1 – r)
حيث a₁ هو الحد الأول، و r هي النسبة المشتركة، و n هو عدد الحدود.

متوسط المتتالية

متوسط المتتالية الهندسية هو القيمة التي تقسم المتتالية إلى نصفين متساويين. يمكن حساب متوسط المتتالية باستخدام الصيغة التالية:

A = a₁ (1 – r) / (1 – rⁿ)
حيث a₁ هو الحد الأول، و r هي النسبة المشتركة، و n هو عدد الحدود.

الحد اللامتناهي

إذا كانت r < 1، فإن مجموع المتتالية الهندسية اللامتناهية موجود ويمكن حسابه باستخدام الصيغة التالية:

S = a₁ / (1 – r)

التطبيق في الحياة الواقعية

تستخدم المتتاليات الهندسية في العديد من التطبيقات في الحياة الواقعية، مثل:

1. النمو السكاني
2. الاضمحلال الإشعاعي
3. الفائدة المركبة

الخاتمة

المتتاليات الهندسية هي أدوات مفيدة يمكن استخدامها لنمذجة مجموعة واسعة من الظواهر في العالم الحقيقي. من خلال فهم خصائص وعمليات المتتاليات الهندسية، يمكننا معالجة المشكلات وحل المسائل في مجالات مختلفة.